Cap. 13 - Relaciones Métricas en Triângulos Rectângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:24 Tópico resolvido

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Problema Proposto
24 - Na figura, se OM = 2m. calcular AN.

Resposta

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B) 2[tex3]\sqrt{2}[/tex3]m

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Vou considerar que N e M são pontos de tangência e que a circunferência que passa por N e M é tangente em T o arco AB e denotando O1 o centro da circunferência de raio r e R o raio do quadrante.

Por Homotetia O, O1 e T estão alinhados, assim [tex3]\overline{OO_1}=R-r[/tex3]

[tex3]\triangle O_1MO: (R-r)^2=r^2+2^2\\
\boxed{\boxed{(R-r)^2=r^2+4}} \ (I)[/tex3]

R em OA e [tex3]R~em~ \overline{OA}~e~\overline{O_1R}\parallel \overline{OB}[/tex3]

[tex3]\triangle ARO_!: (\overline{AO_1})^2=(R-r)^2+2^2 \ \text{ Substituindo }(I):\\
(\overline{AO_1})^2=r^2+4+4\\
\boxed{\boxed{(\overline{AO_1})^2=r^2+8}} \ (II)[/tex3]

[tex3]\triangle ANO_1: (\overline{AO_1})^2=r^2+(\overline{AN})^2\ \text{ Substituindo }(II):\\
r^2+8=r^2+(\overline{AN})^2\\
(\overline{AN})^2=8\implies \boxed{\color{red} \overline{AN}=2\sqrt2}[/tex3]
(Solução: rodBR - viewtopic.php?f=4&t=88195&p=243488&hili ... 2m#p243488)