Cap. 14 - Relaciones Métricas en Triângulos Obtusângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIV - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
25 - No triângulo ABC ([tex3]\angle[/tex3] B = 90^o), se
traça a mediana BM e se marca o incentro "I"
do triángulo BMC tal que: AB - MI= 2.
Calcular AI; se AB² + BI² + IM² = 10

Resposta

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D) [tex3]\sqrt{6}[/tex3]

[Tassandro]

petras,
Seja [tex3]AB=x, MI=y, BI=z, AI=k[/tex3]
Além disso, seja H a projeção de I em AB tal que [tex3]IH=h[/tex3]
Temos, assim, que
[tex3]x-y=2\\
x^2+y^2+z^2=10\\
\(\frac{x}{2}-y\)^2+h^2=z^2\\
\(\frac{x}{2}+y\)^2+h^2=k^2[/tex3]
Subtraindo as duas últimas equações vem que
[tex3]\(\frac x2+y\)^2-\(\frac x2-y\)^2=2xy=k^2-z^2[/tex3]
Usando a segunda equação
[tex3]k^2=10-x^2-y^2+2xy[/tex3]
Pela primeira equação
[tex3]k^2=10-(x-y)^2=6\\
k=\sqrt6[/tex3]