Cap. 14 - Relaciones Métricas en Triângulos Obtusângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIV - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:27 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
27 - Na figura; E, F e N são pontos de tangência.
AH= 12 , HB = 4 e BN = 6. Calcular ON

Resposta

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C) 5 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

[petrasMOD]

: Ligar os pontos AEF e FB, temos um triângulo retângulo
2º Observar que o quadrilátero EFHB é inscritível, então aplicamos o teorema da secante, AF . AE = 12 . 16
3º Ligar o ponto A ao ponto N (medida x), aplicar o teorema da tangente. = AE . AF, isto é x² = 12 . 16 portanto x = 8.[tex3]\sqrt{3}[/tex3]
4º Triângulo ANB, ON é a mediana desse triângulo, aplicando o teorema da mediana
[tex3]AN^2+BN^2 = 2OH^2+\frac{OB^2}{2}\\
(8\sqrt{3})^2 +6^2 = 2OH^2+\frac{16^2}{2}\implies \boxed{\color{red}OH=\sqrt50 = 5\sqrt2}[/tex3]
(Solução: flavio2020 - viewtopic.php?f=4&t=55342&p=145110&hili ... 6.#p145110)

Outra solução:

[tex3]AO=\frac{AH+HB}{2}\\
AO=\frac{12+4}{2}\\
\boxed{AO=8}\implies\boxed{OB=8}[/tex3]

Como o Felipe falou é só aplicar o Teorema de Stewart no :
[tex3](8\sqrt3)^2\cdot8+6^2\cdot8=(ON)^2\cdot16+8\cdot8\cdot16\\
64\cdot3\cdot8+36\cdot8=(ON)^2\cdot2\cdot8+8\cdot128\\
192+36=2(ON)^2+128\\
2(ON)^2=100\\
(ON)^2=50\\
\boxed{\color{red}{ON=5\sqrt{2}}}[/tex3]
(Solução: babi - viewtopic.php?f=4&t=88968&p=245413&hili ... 6.#p245413)