Cap. 14 - Relaciones Métricas en Triângulos Obtusângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIV - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:29 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
29 - Na figura; calcular x , se r = [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Resposta

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A) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

[petrasMOD]

Aplicando T.Euclides ns triângulos OO₁O₃ e OO₂O₄:
[tex3]\mathsf{(R-r)^2=(r_1+r)^2+r_2^2-2(r_1-r)r_2
\\R^2-2Rr+\cancel{r^2} = r_1^2+2r_1r+\cancel{r^2}+r_2^2-2r_1r_2+2rr_2\\
\boxed{R^2-2Rr = (r_1-r_2)^2+2r(r_1+r_2)}(I)\\
\\
(R-x)^2 = (r_2+x)^2+r_1^2-2(r_2-x)r_1=\\
R^2-2Rx+\cancel{x^2} =r_2^2+2r_2x+\cancel{x^2}+r_1^2-2r_2r_1+2xr_1=\\
\boxed{R^2-2Rx=(r_1-r_2)^2+2x((r_1+r_2)}(II) \\
(I)-(II): 2Rx-2Rr = 2r(r_1+r_2)+2x(r_1+r_2)=\\
2R(x-r) = (\underbrace{r_1+r_2}_{=R})(2(r+x))\\
\therefore \boxed{\color{red}x-r = r+x \implies x = r}
}[/tex3]
(Fornecida por Geobson)

Outra solução:

[tex3]\mathsf{PG=r1−r\\
PR=r1+r \\
Pythagoras, RG=2\sqrt{rr1}\\

\text{O é centro com raio R}\\

AG=2r_1−r \\ |OG|=|AG−AO|=|2r1−r−R|\\

T. Pit: OG^2=OR^2−RG^2 ⟹(2r_1−r−R)^2=(R−r)^2−4rr_1\implies\\

Rr=Rr_1−r_1^2⟹Rr=r_1(R−r_1) mas R=r_1+r_2,
\therefore Rr=r_1r_2(I)\\
KQ=r_2−x\\
QS=r_2+x \implies
SK=2\sqrt{xr_2}
\\
OK=OB−KB=R−(2r_2−x)\\

OK`2=(R−2r2+x)^2=OS^2−SK^2=(R−x)^2−4xr_2\implies\\
Rx=r_2(R−r_2)=r_1.r_2(II)\\
De(I)e (II), \boxed{\color{red}r=x}}[/tex3]
(Solução: MathLover)

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