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Problema Proposto
14 - Na figura AB = 6, BC= 1. Se P, Q e R são
pontos de tangência, calcular CD.

petras,
Ligue AP, CP e AR. Além disso, chamaremos de E o ponto comum às retas DR e PQ. Seja [tex3]θ=\angle BRC[/tex3] Pelo lema da estrela da morte, obtemos que [tex3]\angle ARB=\angle BRC=θ[/tex3] e [tex3]\angle APQ=\angle CPQ=90\degree-θ[/tex3]
Daí, temos, por enxergarem o mesmo arco, que [tex3]\angle ERA=\angle APQ=90\degree-θ[/tex3]
Seja [tex3]α=\angle CDR[/tex3]
Pelo teorema da Bissetriz Interna,
[tex3]AR=6CR[/tex3]
Da lei dos senos,
[tex3]\frac{AR}{\senα}=\frac{CD+7}{cosθ}\\
\frac{CD}{\cosθ}=\frac{CR}{\senα}=\frac{CD+7}{6\cosθ}\\
\implies 6CD=CD+7\therefore CD=\frac75[/tex3]

[tex3]\mathsf{PQ ~e ~BR ~são~ bissetrizes(Lema ~Estrela~ da~ Morte)\\
T. Bissetriz~ interna \triangle ACR:\frac{CR}{BC}=\frac{AR}{AB}\implies\frac{CR}{1} = \frac{AR}{6}\\
\therefore: AR=6RC\\
APCR ~é~ inscritivel \\
Preeenchendo ~os ~ângulos, BR \perp DM\\
\therefore \triangle CDR \sim \triangle ADM ~e ~
\triangle AMR \sim \triangle ADM\\
\therefore
\frac{x}{AM}=\frac{CR}{MR}\frac{x}{AM}=\frac{CR}{MR}\\
\frac{AR}{MR}=\frac{x+7}{AM}\\
Dividindo
6x=x+7\\
\therefore \boxed{\color{red}x=\frac{7}{5}}
}[/tex3]
(Solução: jvmago - viewtopic.php?f=4&t=88956&p=245388&hili ... CD#p245388)