Estude! Com Prof. Caju

Olá pessoal, boa tarde. Estou com essa dúvida de cálculo, sobre volume de sólido.

Calcule o volume do sólido cuja base no plano [tex3]\mathsf{z \ = \ 0}[/tex3] é o semicírculo [tex3]\mathsf{x^2 \ + \ y^2 \ = \ 4^2, \ y \geq \ 0}[/tex3] e cujas seções perpendiculares ao eixo [tex3]\mathsf{x}[/tex3] são triângulos equiláteros.

jvgremaschi, fique atento às regras 1. e 2. do fórum. Não é permitido postar questões em forma de imagem e/ou em forma de link externo. Eu editei para você e deixei o seu tópico no formato correto.

Enfim, vamos à questão:

Primeiramente, escolheremos uma integração que seja facilitada pela geometria do problema. Podemos usar as seções triangulares paralelas ao plano [tex3]\mathsf{yz}[/tex3] como bases para sólidos de altura infinitesimal [tex3]\mathsf{dx}[/tex3]. Ou seja, vamos integrar a região por "fatias" da seguinte forma:
Perceba que o lado dos triângulos equiláteros de cada fatia considerada é [tex3]\mathsf{l \ = \ y \ = \ r \cdot \sin(\theta)}[/tex3]. Sabendo que [tex3]\mathsf{x \ = \ r \cdot \cos(\theta)}[/tex3], deixando em função de [tex3]\mathsf{r}[/tex3] e [tex3]\theta[/tex3]:

[tex3]\mathsf{\dfrac{dx}{d\theta} \ = \ -r\cdot \sin(\theta)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{dx \ = \ -r \cdot \sin(\theta) \ d\theta}[/tex3]

O volume infinitesimal de cada fatia é:

[tex3]\mathsf{dV \ = \ A_\triangle \ dx}[/tex3]

[tex3]\mathsf{dV \ = \ \dfrac{\sqrt{3} \cdot \overbrace{y^2}^{(r \cdot \sin(\theta))^2}}{4} \ \underbrace{dx}_{-r \cdot \sin(\theta) \ d\theta}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{dV \ = \ - \ \dfrac{\sqrt{3} \cdot r^3 \cdot \sin^3(\theta) \ d\theta}{4}}[/tex3]

Como integraremos já desde a borda da semicircunferência, temos [tex3]\mathsf{r \ = \ 4}[/tex3] (fixado), para que assim tenhamos as bases completas. Então:

[tex3]\mathsf{dV \ = \ - \ \dfrac{\sqrt{3} \cdot 4^3 \cdot \sin^3(\theta) \ d\theta}{4}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{dV \ = \ - \ 16 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin^3(\theta) \ d\theta}[/tex3]

Para que tenhamos o processo iterativo concordante com o crescimento de [tex3]\mathsf{dx}[/tex3], vamos integrar do menor valor de [tex3]\mathsf{x}[/tex3] ao maior valor de [tex3]\mathsf{x}[/tex3]. Então, integrando em [tex3]\mathsf{\pi \ \leq \ \theta \ \leq \ 0:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{V \ = \ - \ 16 \cdot \sqrt{3} \cdot \int_{\pi}^{0} \sin^3(\theta) \ d\theta}[/tex3]

Essa integral pode ser feita por partes, e temos que [tex3]\mathsf{\int_{\pi}^{0} \sin^3(\theta) \ d\theta \ = \ -\dfrac{4}{3}}[/tex3]. Logo:

[tex3]\mathsf{V \ = \ - \ 16 \cdot \sqrt{3} \cdot -\dfrac{4}{3}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{V \ \approx \ 36,95 \ u. V.}}}[/tex3]