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Problema Proposto
17 - Na figura dada; se: AB = BC= 2 + [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
Calcular: x

Seja [tex3]O[/tex3] o centro do semicírculo e sejam [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] os pontos de contato do semicírculo com [tex3]AB[/tex3] e [tex3]BC[/tex3] respectivamente.

O enunciado nos diz que o [tex3]\triangle ABC[/tex3] é [tex3]B-[/tex3] isósceles, logo [tex3]\angle BAC = \angle BCA = 45^{\circ}[/tex3].

Como [tex3]O[/tex3] está na bissetriz interna do [tex3]\angle ABC[/tex3] no [tex3]\triangle ABC[/tex3] ([tex3]\triangle OXB \cong \triangle OYB[/tex3] por terem mesmos cateto e hipotenusa), então [tex3]\angle ABO = \angle CBO = 45^{\circ}[/tex3] e [tex3]\angle AOB = 90^{\circ}[/tex3].

Seja [tex3]a = \overline{OX} = \overline{XB}[/tex3], então [tex3]OB = a \sqrt 2[/tex3] e [tex3]AB = a \sqrt{2} \cdot \sqrt 2 = 2a = (2+\sqrt2)[/tex3].

Logo [tex3]MO = 2a - a\sqrt2 = NO[/tex3], logo [tex3]MN = 2a(2-\sqrt2) = (2+\sqrt2)(2-\sqrt2) = 4-2 = 2[/tex3]