Cap. 17 - Polígonos Regulares: Potencia e Eje Radical ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:18 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
18 - No pentágono regular ABCDE, se traça a diagonal BE e
um diâmetro perpendicu­lar a esta diagonal. O diâmetro intercepta o
lado CD no ponto F
BE [tex3]\cap[/tex3] AF =M
[tex3]\frac{1}{AM}+\frac{1}{AF}=1[/tex3]
Calcular l₅

Resposta

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A) [tex3]\sqrt{10-2\sqrt{5}}[/tex3]

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{l_5 =l = \frac{R}{2}(\sqrt{10-2\sqrt5})\\
\triangle AEN: l^2 = 2R.AM\\
\triangle ADN: d^2=2R.AF\\
{\frac{1}{AF}+\frac{1}{AM}}=2R(\frac{1}{d^2}+\frac{1}{l^2})\implies \frac{1}{2R} = \frac{1}{d^2}+\frac{1}{a^2}\\
l=d(\frac{\sqrt5-1}{2})\\
\therefore \frac{1}{d^2}+\frac{4}{d^2(\sqrt5-1)^2}\implies\frac{10-2\sqrt5}{(\sqrt5-1)^2}
=\frac{d^2}{2R}(II)\\
Substituindo~l~ e~ d: \boxed{\color{red} l =\sqrt10{-2\sqrt5} }
}[/tex3]
(Solução:Encontrada por geobson)