Cap. 18 - Areas de Regiones Triangulares ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
25 - Calcular o lado maior de um triângulo ABC,
tal que r = 5m(*inraio); r_a = 12m e r_b(*ex-raios) = 20m

Resposta

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C) 9[tex3]\sqrt{5}[/tex3]m

(*Não mencionado no livro)

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}\implies \\
\frac{1}{5}=\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{r_c}\\
\therefore r_c = 15\\
S_{ABC} =\sqrt{r.r_a.r_b.r_c}=\sqrt{18000} = 60\sqrt5\\
S_{ABC} =\frac{b.r.r_b}{r_b-r}\implies \frac{60\sqrt5.15}{5.20}\therefore =\boxed{\color{red}b= 9\sqrt{5}}\\
}[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

[tex3]\frac1r = \frac1{r_a}+\frac1{r_b}+\frac1{r_c}[/tex3], logo [tex3]r_c = \frac1{\frac15-\frac1{12} - \frac1{20}} = 15[/tex3].

[tex3]S^2 = rr_ar_br_c \iff S^2 = 5 \cdot 12 \cdot 20 \cdot 15 = 5^3 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \implies S = 60 \sqrt5 = p \cdot r = 5p[/tex3]

[tex3]p = 12\sqrt5[/tex3]

o maior lado corresponde ao maior exraio:

[tex3]60 \sqrt5 = (12\sqrt 5 - b) \cdot 20 \iff 3\sqrt5 = 12\sqrt5 - b \implies b = 9\sqrt5[/tex3]