Estude! Com Prof. Caju

Problema Proposto
37 - Na figura, calcular a área da região sombreada (A)
em função de A₁ e A₂.
OT = TO1

petras, que região sombreada? E A2 é a area de todo o círculo pequeno? Porque se for, dá pra deixar ela em função da área do outro círculo.

Vou assumir que [tex3]A_1[/tex3] é a área do círculo maior, [tex3]A_2[/tex3] é a área do círculo menor (logo [tex3]A_1=4A_2[/tex3] e o gabarito está incorreto) e que a área pedida é a área comum aos dois círculos.

seja [tex3]X[/tex3] uma das intersecções dos dois círculos e seja [tex3]O_2[/tex3] o reflexo de [tex3]O_1[/tex3] em relação a [tex3]O[/tex3] (o antípoda de [tex3]O_1[/tex3] no círculo maior).

Como [tex3]O_1O_2[/tex3] é diâmetro, então o teorema de Tales garante que [tex3]\angle O_1XO_2 = 90^{\circ}[/tex3].
Portanto, [tex3]\sen (\angle O_1O_2X) = \frac{O_1X}{O_1O_2} = \frac14[/tex3], chamemos [tex3]\angle O_1O_2X[/tex3] de [tex3]\alpha[/tex3]. Então: [tex3]\cos (\alpha) = \sqrt{1 - \frac1{16}} = \frac{\sqrt{15}}4[/tex3], portanto [tex3]\sen (2\alpha) = \frac{\sqrt{15}}8[/tex3].

A área do segmento circular no círculo [tex3]c_1 = \odot (O,OO_1)[/tex3] delimitada por [tex3]O_1X[/tex3] é:

[tex3]S =r_1^2 \alpha - \frac{r_1^2 \sen (2\alpha)}2 = \frac{4A_2}{\pi} (\arcsen (\frac14) - \frac{\sqrt{15}}{16})[/tex3]

Queremos agora a área do arco delimitado por [tex3]T[/tex3] e [tex3]X[/tex3] no círculo menor:

[tex3]\frac{r_2^2 \beta}2 = \frac{A_2 \arccos (\frac14)}{2\pi}[/tex3]

Somemos ela com [tex3]S[/tex3] e teremos metade da área pedida, logo a área total é:

[tex3]2(\frac{A_2 \arccos (\frac14)}{2\pi} + \frac{4A_2}{\pi} (\arcsen (\frac14) - \frac{\sqrt{15}}{16})) = [/tex3]
[tex3]= \frac{A_2}{\pi}( \arccos (\frac14) + 8 \arcsen (\frac14) - \frac{\sqrt{15}}2) =[/tex3]
[tex3]= \frac{A_2}2 + \frac{A_2}{\pi}(7 \arcsen (\frac14) - \frac{\sqrt{15}}2)[/tex3]

Sendo A a área(sombreada) da inteseção dos círculos, A1 a área da região à esquerda de A e A2 a área da região à direita de A.

[tex3]\mathsf{R=2r\implies\\
A+A_1 = 4\pi r^2(I)\\
A+A_2 = \pi r^2(II)\\
(I)-4(II): A-4A+A_1-4A_2 = 0\\
\therefore \boxed{\color{red}A = \frac{A_1-4A_2}{3}} }[/tex3]

petras, obviamente que [tex3]A_1[/tex3] não é a área do círculo maior inteiro então né? Ela é a área do círculo menos a área do meio. Suas duas primeiras linhas estão definindo as áreas de forma contraditória, pois claramente elas implicariam que [tex3]A =0[/tex3]

FelipeMartin,

SIm A1 é a área da esquerda e A2 a área da direita(não são as áreas dos círculos inteiros)..Já corrigi ..grato