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Solucionário:Racso - Cap XVIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:48
Enviado: 13 Dez 2021, 21:15
por petras
Problema Proposto
48 - Calcular a área da região sombreada, se: r = [tex3]\sqrt{3+2\sqrt{2}}[/tex3].
Re: Solucionário:Racso - Cap XVIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:48
Enviado: 14 Dez 2021, 09:11
por petras
Seja r o raio do círculo menor e R o raio do círculo maior.
[tex3]\mathsf{PT=RT=2rPT=RT=2r, \\
RS=PS=r\sqrt2\\
O_1O_2=r+R, O2Q=R\\
T.Pit. △O_1O_2Q: O_1Q=\sqrt{r^2+2rR}\therefore RQ=\sqrt{r^2+2rR}+r\\
por ~tangência, RP=RQ, \therefore 2\sqrt2r=\sqrt{r^2+2rR}+r ⇒\\9r^2−4\sqrt2r^2=r^2+2rR⇒R=r(4−2\sqrt2).\\
O_ 1Q=r(2\sqrt2−1) ~e~ QT=2r(\sqrt2−1).\\
Por~ potência~ do~ ponto: QT^2=TF×PT⇒TF=2r(3−2\sqrt2) \therefore PF=4r(\sqrt2−1)\\
S_{shaded}=\frac{PF×TQ}{2}=4r^2(3-2\sqrt2)=\boxed{\color{red}4}}[/tex3]
(Solução:NigrumCibum -
viewtopic.php?t=89350)