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Problema Proposto
56 - Calcular a área da região triangular ABC,
se : CK = a (T é ponto de tangência

incírculo toca os lados de um triângulo em s − a, s − b, s − c nos vértices correspondentes A, B, C.
O círculo B toca AC em (s − c) de A e (s − a) de C.
Então, se D fosse o ponto de tangência do círculo B, então CD = AF e CF = AD
O círculo B é apenas uma versão ampliada do círculo (ou os dois círculos são homotéticos em relação a A). Cada ponto em sua circunferência é colinear com o ponto correspondente no incircle. Em particular, seu ponto de tangência em AC, que é o ponto mais alto, é colinear com o ponto mais alto do incirculo. Pela colinearidade de B, E, D, verifica-se que D é de fato o ponto de contato do círculo.
Por propriedade: "A área de um triângulo retângulo é igual ao produto dos comprimentos dos segmentos determinados pela circunferência inscrita na hipotenusa "
[tex3]S_{ABC}=AF.FC = CD.CF\\
Potência~ C: ~CD.CF = CK^2 = a^2\\
\therefore \boxed{\color{red}S_{ABC} = a^2}[/tex3]
(Solução:MyMolecules)