Cap. 18 - Areas de Regiones Triangulares ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:59 Tópico resolvido

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Problema Proposto
59 - Na figura : PM || BI || QT : calcular a
área da região MBT

Resposta

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C) r²

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Pela figura temos que P e Q são os incentros dos triângulos BAD e BDC, respectivamente.
Como I é o ponto de intersecção das retas AP e CQ, I é o incentro do triângulo ABC .

Temos que r é o raio da circunferência de centro P e o triângulp PEM é reto em E.
O < EMP = 45^o já que MP||PI . A conclusão é que o triângulo EMP é retângulo isósceles e MP = r [tex3]\sqrt{2}[/tex3].
Como P é incentro, a reta BP é bissetriz do \triângulo ABI e como BI||MP, o triângulo PMB é isósceles e MB=r [tex3]\sqrt{2}[/tex3] .

Raciocínio análogo pode ser feito para o lado direito da figura.
Agora analisando o quadrilátero BMIT, chega-se à conclusão que é um quadrado, veja que <B = <M = 90^o . (o mesmo para o lado direito da figura).
Com isso MY e BI são diagonais desse quadrado e dividem-no em duas partes iguais.
[tex3]\therefore \boxed{\color{red}S_{MBT= \frac{(r\sqrt2)^2}{2}=r^2}} [/tex3]
(Solução:VALDECIRTOZZI - viewtopic.php?f=3&t=35386&p=96201&hilit=MBT#p96201