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Ache todas as soluções em inteiros positivos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] da equação diofantina [tex3]2x^2-y^6=1[/tex3].

[tex3]2x^2 = 1 + y^6 = (1+y^2)(1-y^2+y^4)[/tex3]
podemos observar que y é ímpar então o 2 divide 1 + y^2
[tex3]x^2 = \frac{(1+y^2)}{2}\cdot(1-y^2+y^4)[/tex3]
vamos tirar os fatores em comum, [tex3]d = mdc\(\frac{(1+y^2)}{2},(1-y^2+y^4)\)[/tex3]
[tex3]d|y^2 + 1[/tex3] e [tex3]d|(1-y^2+y^4)[/tex3]
[tex3]d|(1-y^2+y^4) - y^2(y^2+1) = 1-2y^2[/tex3]
[tex3]d| 1-2y^2 + 2(y^2+1) = 3[/tex3]
então d divide 3, vamos ver agora se d = 3 ou se d = 1
se d = 3, temos que d|y^2+1 mas testando todos os resíduos que y pode deixar mod 3 nenhum deles satisfaz 3|y^2+1 então [tex3]\frac{(1+y^2)}{2},(1-y^2+y^4)[/tex3] são primos entre si, logo cada um deles deve ser um quadrado.

[tex3](1-y^2+y^4)=b^2[/tex3]
[tex3](1-y)(1+y) = (b+y^2)(b-y^2)[/tex3]
[tex3]b+y^2|1-y^2\implies b+y^2|1+b[/tex3]
sem perca de generalidade b >= 0 (pq la na original a gente tem b^2 então -b e + b tanto faz)
[tex3]b+y^2\le 1+ b[/tex3]
[tex3]y^2\le 1[/tex3]
então y = 0, +1 ou - 1
como tá nos inteiros positivos só tem y = 1 dai x = 1 e então essa é a única solução

@rcompany o "a" é o x², e não o x. Então o certo seria k+1 = x² e 2k+1 = y^6 e não daria pra usar aquele f(t)