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OLimpíada do Rio de Janeiro 1994
Enviado: 11 Jul 2009, 19:56
por jacobi
Quantos pares ordenados (x , y) com x e y inteiros positivos são soluções da equação [tex3]\frac{4}{x} + \frac{2}{y} = 1[/tex3]?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) mais do que 4
Re: OLimpíada do Rio de Janeiro 1994
Enviado: 14 Jul 2009, 18:37
por John
Como [tex3]\frac{4}{x} + \frac{2}{y} = 1[/tex3], devemos ter [tex3]x > 4[/tex3] e [tex3]y > 2[/tex3].
Suponhamos que [tex3]x \leq y[/tex3]. Então [tex3]x \leq 6[/tex3].
De fato: Se [tex3]x > 6[/tex3] então [tex3]\frac{4}{x} < \frac{2}{3}[/tex3]. Como [tex3]x \leq y[/tex3], devemos ter [tex3]6 < y[/tex3], assim [tex3]\frac{2}{y} < \frac{1}{3}[/tex3]. Assim,
[tex3]\frac{4}{x} + \frac{2}{y} < \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1[/tex3]. CONTRADIÇÃO!
Assim [tex3]x \in \{5,6\}[/tex3].
Se [tex3]x = 5[/tex3] então [tex3]y = 10[/tex3].
Se [tex3]x = 6[/tex3] então [tex3]y = 6[/tex3].
Suponhamos que [tex3]y \leq x[/tex3]. Então [tex3]y \leq 6[/tex3].
De fato: Se [tex3]y > 6[/tex3] então [tex3]\frac{2}{y} < \frac{1}{3}[/tex3]. Como [tex3]y \leq x[/tex3], devemos ter [tex3]6 < x[/tex3], assim [tex3]\frac{4}{x} < \frac{2}{3}[/tex3]. Assim,
[tex3]\frac{4}{x} + \frac{2}{y} < \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1[/tex3]. CONTRADIÇÃO!
Assim [tex3]y \in \{3,4,5,6\}[/tex3].
Se [tex3]y = 3[/tex3] então [tex3]x = 12[/tex3].
Se [tex3]y = 4[/tex3] então [tex3]x = 8[/tex3].
Se [tex3]y = 5[/tex3] então [tex3]x = \frac{20}{3}[/tex3].
Se [tex3]y = 6[/tex3] então [tex3]x = 6[/tex3].
Portanto, temos 4 soluções.
Inté!!
Re: OLimpíada do Rio de Janeiro 1994
Enviado: 14 Jul 2009, 21:54
por jacobi
Ei John, tu és um raio, cara. Parabéns.