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Função Quadrática: Imagem
Enviado: 29 Jul 2007, 19:05
por demetrius
Seja a função
[tex3]f: [-2, 2] \to \mathbb{R},[/tex3] definida por
[tex3]f(x) = -x^2-2x+3[/tex3]. Determine o conjunto imagem de
[tex3]f.[/tex3]
Re: Função Quadrática: Imagem
Enviado: 29 Jul 2007, 20:48
por Alexandre_SC
Consideremos a função
[tex3]g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},[/tex3] definida por
[tex3]g(x)=-x^2-2x+3.[/tex3]
Calculando os zeros de
[tex3]g[/tex3] (pontos de intrerseção com o eixo
[tex3]x)[/tex3] encontramos
[tex3]x_1=-3[/tex3] e
[tex3]x_2=1.[/tex3]
Além disso,
- [tex3]\begin{array}{rl} g(x)&=-x^2-2x+3\\
&=-(x^2+2x-3) \\
&=-[(x+1)^2-1 -3] \\
&=4-(x+1)^2. \end{array}[/tex3]
Donde concluímos que
[tex3]g[/tex3] assume um máximo para
[tex3]x=-1.[/tex3] Este máximo vale
[tex3]4.[/tex3] Podemos então fazer o esboço do gráfico de
[tex3]g:[/tex3]
- AD17.png (8.35 KiB) Exibido 863 vezes
Observando que o gráfico de
[tex3]f[/tex3] coincide com o gráfico de
[tex3]g[/tex3] para
[tex3]x \in [-2,2],[/tex3] concluímos que a imagem de
[tex3]f[/tex3] é o intervalo
[tex3][f(2),4].[/tex3] Como
[tex3]f(2)=-2^2-2\cdot 2+3=-5, \text{ } Im_f=[-5,2].[/tex3]