Pan-African 2001
Enviado: 11 Fev 2012, 16:25
Encontre todos os inteiros positivos [tex3]n,[/tex3] tais que [tex3]\dfrac{n^3+3}{n^2+7}[/tex3] é um inteiro.
Se [tex3]a|b[/tex3] e [tex3]a|c[/tex3], então [tex3]a|bx+cy[/tex3] para quaisquer [tex3]x, y\in\mathbb Z[/tex3]
Se [tex3]a|b[/tex3], então [tex3]|a|\le |b|[/tex3].
O problema é equivalente á termos [tex3]n^2+7|n^3+3[/tex3] e como [tex3]n^2+7|n^2+7[/tex3], temos pela propriedade 1 que:
[tex3]n^2+7|(n^2+7).n-(n^3+3).1[/tex3]
[tex3]n^2+7|7n-3[/tex3]
Logo [tex3]n^2+7\le 7n-3\Leftrightarrow n^2-7n+10\le 0\Leftrightarrow 2\le n\le 5\Rightarrow n=2, 3, 4, 5[/tex3]Analisando diretamente, vemos que apenas [tex3]n=2, 5[/tex3] satisfazem a divisibilidade.