Demonstração - Três circunferências tangentes
Enviado: 16 Jun 2012, 16:41
Olá a todos,
Dado três circunferência tangentes, conforme a figura abaixo, demonstre que:
Demonstração:
Primeira parte:
Da figura tiramos,
[tex3]d^2+(R_3-R_2)^2=(R_3+R_2)^2[/tex3]
[tex3]d^2=(R_3+R_2)^2-(R_3-R_2)^2[/tex3], lembre-se: [tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]
[tex3]d^2=4R_3R_2[/tex3]
[tex3]\boxed{d=2\sqrt{R_3R_2}}[/tex3]
Segunda parte:
Da figura tiramos,
[tex3]\ell ^2+(R_3-R_1)^2=(R_3+R_1)^2[/tex3]
[tex3]\ell^2=(R_3+R_1)^2-(R_3-R_1)^2[/tex3], lembre-se: [tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]
[tex3]\ell^2=4R_3R_1[/tex3]
[tex3]\boxed{\ell=2\sqrt{R_3R_1}}[/tex3]
Terceira parte:
Da figura tiramos,
[tex3](d-\ell) ^2+(R_2-R_1)^2=(R_2+R_1)^2[/tex3]
[tex3](d-\ell)^2=(R_2+R_1)^2-(R_2-R_1)^2[/tex3], lembre-se: [tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]
[tex3](d-\ell)^2=4R_2R_1[/tex3]
[tex3]d-\ell=2\sqrt{R_2R_1}[/tex3]
Substituindo os valores de [tex3]d\,e\, \ell[/tex3]
[tex3]2\sqrt{R_3R_2}-2\sqrt{R_3R_1}=2\sqrt{R_2R_1}[/tex3]
Dividindo tudo por [tex3]2\sqrt{R_1R_2R_3}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{\sqrt{R_1}}-\frac{1}{\sqrt{R_2}}=\frac{1}{\sqrt{R_3}}[/tex3]
Portanto,
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{1}{\sqrt{R_1}}=\frac{1}{\sqrt{R_2}}+\frac{1}{\sqrt{R_3}}}}[/tex3]. Como queríamos demostrar.
Abraço.
Dado três circunferência tangentes, conforme a figura abaixo, demonstre que:
[tex3]\frac{1}{\sqrt{R_1}}=\frac{1}{\sqrt{R_2}}+\frac{1}{\sqrt{R_3}}[/tex3]
- circulos_tangente.png (9.91 KiB) Exibido 4722 vezes
Primeira parte:
- circulos_tangente_1.png (11.8 KiB) Exibido 4738 vezes
[tex3]d^2+(R_3-R_2)^2=(R_3+R_2)^2[/tex3]
[tex3]d^2=(R_3+R_2)^2-(R_3-R_2)^2[/tex3], lembre-se: [tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]
[tex3]d^2=4R_3R_2[/tex3]
[tex3]\boxed{d=2\sqrt{R_3R_2}}[/tex3]
Segunda parte:
- circulos_tangente_2.png (9.91 KiB) Exibido 4738 vezes
[tex3]\ell ^2+(R_3-R_1)^2=(R_3+R_1)^2[/tex3]
[tex3]\ell^2=(R_3+R_1)^2-(R_3-R_1)^2[/tex3], lembre-se: [tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]
[tex3]\ell^2=4R_3R_1[/tex3]
[tex3]\boxed{\ell=2\sqrt{R_3R_1}}[/tex3]
Terceira parte:
- circulos_tangente_3.png (9.59 KiB) Exibido 4738 vezes
[tex3](d-\ell) ^2+(R_2-R_1)^2=(R_2+R_1)^2[/tex3]
[tex3](d-\ell)^2=(R_2+R_1)^2-(R_2-R_1)^2[/tex3], lembre-se: [tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]
[tex3](d-\ell)^2=4R_2R_1[/tex3]
[tex3]d-\ell=2\sqrt{R_2R_1}[/tex3]
Substituindo os valores de [tex3]d\,e\, \ell[/tex3]
[tex3]2\sqrt{R_3R_2}-2\sqrt{R_3R_1}=2\sqrt{R_2R_1}[/tex3]
Dividindo tudo por [tex3]2\sqrt{R_1R_2R_3}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{\sqrt{R_1}}-\frac{1}{\sqrt{R_2}}=\frac{1}{\sqrt{R_3}}[/tex3]
Portanto,
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{1}{\sqrt{R_1}}=\frac{1}{\sqrt{R_2}}+\frac{1}{\sqrt{R_3}}}}[/tex3]. Como queríamos demostrar.
Abraço.