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(UERJ - 2001) Binômio de Newton
Enviado: 26 Fev 2008, 18:32
por Natan
[tex3]\left(x+\frac{1}{x^5}\right)^n[/tex3]
Na potência acima,
[tex3]n[/tex3] é um número natural menor do que
[tex3]100.[/tex3]
Determine o maior valor de
[tex3]n,[/tex3] de modo que o desenvolvimento dessa potência tenha um termo independente de
[tex3]x.[/tex3]
Re: (UERJ - 2001) Binômio de Newton
Enviado: 27 Fev 2008, 01:52
por brain_tnt
Termo Geral:
- [tex3]T_{p+1}= {n\choose p} \cdot x^{n-p}\cdot \left(\frac{1}{x^5}\right)^p[/tex3]
- [tex3]T_{p+1}={n\choose p} \cdot x^{n-p}\cdot (x^{-5})^p ={n\choose p}\cdot x^{n-p}\cdot x^{-5p}={n\choose p} \cdot x^{n-6p}[/tex3]
Para que tenhamos um termo independente de
[tex3]x\,(x^0)[/tex3] devemos ter:
- [tex3]n-6p=0 \Longrightarrow n=6p,\text{ } p\in{\mathbb{N}}[/tex3]
Como
[tex3]0<n<100,[/tex3] temos que o maior múltiplo de
[tex3]6[/tex3] menor do que
[tex3]100[/tex3] é
[tex3]96.[/tex3]
Resposta:
[tex3]n=96[/tex3]