Estude! Com Prof. Caju

Seja [tex3]f:\,\,\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex3] , uma função tal que [tex3]b\,\,\in\,\,\mathbb{R}[/tex3], [tex3]X\rightarrow Y : -\frac{x}{2}
+ b[/tex3], e sabendo - se, que [tex3]f(f(4))= 2[/tex3], a lei que define a função inversa desta é:
eu gostaria de uma explicação bem detalhada, obrigado

f(4)=-2+b
[tex3]f(f(4))=-\frac{(-2+b)}{2}+b=2[/tex3]
Resolvendo, encontramos b=2
E a função f fica assim:
[tex3]f(x)=y=\frac{-x}{2}+2[/tex3]
Agora, pra achar a inversa, trocamos x por y e y por x, depois isolamos o x.
[tex3]x=\frac{-y}{2}+2[/tex3]
Isolando o y chegamos à resposta!

Boa noite.

Visualizemos o que acontece na composição de função:
Temos três representações do conjunto dos números reais. No momento [tex3](I)[/tex3], Vemos um elemento do domínio da função [tex3]f[/tex3] sendo transformado em sua imagem [tex3]f(x)[/tex3]. Ou seja:

[tex3]x\,\longrightarrow\,\,-\frac{x}{2}+b[/tex3]

No momento [tex3](II)[/tex3], a nossa imagem [tex3]f(x)[/tex3], agora, é o domínio da função [tex3]f\circ f[/tex3], ou seja, [tex3]f[/tex3] composta [tex3]f[/tex3], gerando a imagem [tex3]f(f(x))[/tex3]. Isto é:

[tex3]-\frac{x}{2}+b\,\longrightarrow\,\,-\frac{(-\frac{x}{2}+b)}{2}+b[/tex3]

Então, na prática, não substituiríamos [tex3]x=a[/tex3] e sim, [tex3]x=f(x)=-\frac{x}{2}+b[/tex3].

Vamos ao [tex3]f(4)[/tex3]:

[tex3]f(4)=-\frac{4}{2}+b\,\,=\,\,b-2[/tex3]

Logo, [tex3]f(f(4))[/tex3] será:

[tex3]f(f(4))=-\frac{b-2}{2}+b\,\,=\,\,\frac{b+2}{2}[/tex3]

É dito que [tex3]f(f(4))=2[/tex3], isto é:

[tex3]\frac{b+2}{2}=2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,b=2[/tex3]

Diante disso, obtemos a lei de [tex3]f[/tex3], [tex3]f(x)=-\frac{x}{2}+2[/tex3]



b) A definição de função inversa nos diz que se temos função [tex3]f[/tex3] que se obtem [tex3]y[/tex3] em função [tex3]x[/tex3], ou seja, [tex3]y=f(x)[/tex3], a função inversa [tex3]f^{-1}[/tex3] gerará [tex3]x[/tex3] a partir de [tex3]y[/tex3], [tex3]x=f(y)[/tex3].

Na prática, é isolarmos [tex3]x[/tex3] na lei da função [tex3]f[/tex3]. Assim:

[tex3]y=-\frac{x}{2}+2\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,x=-2y+4\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,f^{-1}(y)=-2y+4[/tex3]

Como é praxe representarmos os elementos do domínio por [tex3]x[/tex3] e da imagem por [tex3]y[/tex3], então:

[tex3]f^{-1}(x)=-2x+4[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

blz eu entendi quase tudo mas voce poderia me explicar (detalhadamente) essa parte ?
como vc chegou que - (b - 2)/2 + b fica igual a (b+2)/2 ? eu não entendi esse parte ainda sou leigo em matematica,
e tambem , aqui, [tex3]y=-\frac{x}{2}+2\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,x=-2y+4\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,f^{-1}(y)=-2y+4[/tex3]

o que vc faz com o 2 que estava dividindo voce passou multiplicando o -x, e tambem o 2 ? o brigado

Entendo. São propriedade de equações e de razões.

[tex3]-\frac{b-2}{2}+b[/tex3]

Usamos essa propriedade:

[tex3]\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}[/tex3]

Então:

[tex3]\frac{2b-(b-2)}{2}=\frac{2b-b+2}{2}=\frac{b+2}{2}[/tex3]


Em [tex3]y=-\frac{x}{2}+2[/tex3]. Logo:

[tex3]y=\frac{-x+4}{2}[/tex3]

Multiplicando ambos os lado por [tex3]2[/tex3]:

[tex3]2(y)=2\left(\frac{-x+4}{2}\right)\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,2y=-x+4[/tex3]

Somamos [tex3]x-2y[/tex3] em ambos os lados:

[tex3](x-2y)+2y=(x-2y)-x+4\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,x=-2y+4[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.