Observe
Solução:
Considerando o ponto P( x , y , z ) qualquer do IR³ , vamos encontrar o vetor
[tex3]\vec{AP}[/tex3] , onde A ( 0 , - 1/2 , 0 ) ponto de r, então
[tex3]\vec{AP}[/tex3] = P - A = ( x , y , z ) - ( 0 , - 1/2 , 0 ) = ( x , y + (1/2) , z )
Temos ainda que, um vetor diretor de r é
[tex3]\vec{v}_r[/tex3] = ( 1 , 0 , 0 ) .
Agora vamos encontrar
[tex3]\vec{AP} \wedge \vec{v} _r[/tex3] , vem;
[tex3]\vec{AP} \wedge \vec{v} _r =
\left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
x & y + \frac{1}{2} & z \\
1 & 0 & 0
\end{array} \right|[/tex3]
Desenvolvendo, obtemos:
[tex3]\vec{AP} \wedge \vec{v} _r = ( 0 , z , - y - \frac{1}{2} )[/tex3]
Agora , chame de B( 0 , 1/2 , 0 ) um ponto da reta s, então
[tex3]\vec{BP}[/tex3] = P - A = ( x , y , z ) - ( 0 , 1/2 , 0 ) = ( x , y - (1/2) , z ).
Um vetor diretor de s é
[tex3]\vec{v}_s[/tex3] = ( 0 , 0 , 1 ) .
Agora vamos encontrar
[tex3]\vec{BP} \wedge \vec{v} _s[/tex3] , vem;
[tex3]\vec{BP} \wedge \vec{v} _s =
\left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
x & y - \frac{1}{2} & z \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right|[/tex3]
Desenvolvendo, obtemos:
[tex3]\vec{BP} \wedge \vec{v} _s = ( y - \frac{1}{2} , - x , 0 )[/tex3]
Assim,
d( P , r ) = d( P , s )
[tex3]\frac{|| \vec{AP} \wedge \vec{v}_r ||}{ || \vec{v}_r||} = \frac{|| \vec{BP} \wedge \vec{v}_s ||}{ || \vec{v}_s ||} [/tex3]
[tex3]\frac{|| ( 0 , z , - y - \frac{1}{2} ) ||}{ || ( 1 , 0 , 0 ) ||} = \frac{|| ( y - \frac{1}{2} , - x , 0 )||}{ || ( 0 , 0 , 1 ) ||} [/tex3]
[tex3]\frac{ \sqrt{ 0^2 + z^2 + (y + \frac{1}{2})^2 } }{ \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{ \sqrt{ ( y - \frac{1}{2} )^2 + ( - x )^2 + 0^2 } }{ \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2 }} [/tex3]
Desenvolvendo, obtemos
z² + y² + y + ( 1/4 ) = y² - y + ( 1/4 ) + x²
z² - x² = - 2y
x² - z² = 2y
Basta agora comparar com as equações gerais das quádricas. Nesse sentido, pode-se inferir que essa equação representa um
paraboloide hiperbólico que pode ser descrito pela seguinte equação geral :
( x²/a² ) - ( z²/c² ) = by
Portanto , o lugar geométrico é um paraboloide hiperbólico.
Mais um usuário que teve a sua única pergunta resolvida 
Excelente estudo!
