(Olimpíada Cearense – 1982) Geometria
Enviado: 09 Jul 2008, 15:06
Os lados de um triângulo mede 3, 7 e 8, respectivamente. Mostre que os ângulos deste triângulo, medidos em graus, estão em progressão aritmética.
Sendo [tex3]\alpha , \beta , \theta[/tex3] os ângulos opostos ao lados [tex3]3,7,8[/tex3] respectivamente ; tem-se que [tex3]\alpha \lt \beta \lt \theta[/tex3]
lei dos cossenos :
[tex3]64 + 9 - 48cos\beta = 49 \Rightarrow cos\beta = \frac{1}{2}[/tex3]
a única solução é para [tex3]\beta = 60[/tex3] , pois [tex3]\alpha + \beta + \theta = 180[/tex3]
então [tex3]\alpha = 60-q[/tex3] e [tex3]\theta = 60+p[/tex3]
logo [tex3]60 + 60-q + 60+p = 180 \Rightarrow p = q[/tex3]
sendo assim , os ângulos estão em progressão de razão p , com termo inicial igual a [tex3]60-p[/tex3]