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(COLÉGIO NAVAL - 1975)Calcular a soma dos valores de [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] de modo que as equações [tex3](2n+m)x^2-4mx+4=0[/tex3] e [tex3](6n+m)x^2-3(n-1)x-2=0[/tex3] tenham as mesmas raízes.

a) [tex3]\frac{9}{5}[/tex3]
b) [tex3]\frac{7}{5}[/tex3]
c) [tex3]\frac{-9}{5}[/tex3]
d) [tex3]0[/tex3]
e) [tex3]1[/tex3]
f) [tex3]N.R.A[/tex3]

Raízes iguais implica mesmo [tex3]S=\frac{-b}{a}[/tex3] e mesmo [tex3]P=\frac{c}{a}[/tex3] para as duas equações:

Sistema: [tex3]\begin{cases}\frac{4m}{2n+m}=\frac{3(n-1)}{6n+m}\\\frac{4}{2n+m}=\frac{-2}{6n+m}\end{cases}[/tex3]

Dá pra resumir assim [tex3]\frac{6n+m}{2n+m}=\frac{3(n-1)}{4m}=\frac{-2}{4}[/tex3]

Entre as duas últimas frações fica [tex3]\frac{3n-3}{\cancel{4}m}=\frac{-2}{\cancel{4}}\Rightarrow3n-3=-2m\Rightarrow3n+2m=3[/tex3]

Entre a primeira e a última: [tex3]\frac{6n+m}{2n+m}=\frac{-1}{2}\Rightarrow12n+2m=-2n-m\Rightarrow14n+3m=0[/tex3]

Então [tex3]\begin{cases}9n+6m=9\\28n+6m=0\end{cases}[/tex3]

Logo [tex3]19n=-9\Rightarrow n=\frac{-9}{19}[/tex3] e aí [tex3]3n-3=-2m\Rightarrow2m=3-3n=3-3\times\frac{-9}{19}[/tex3],
ou seja, [tex3]m=3+\frac{27}{19}=\frac{57+27}{19}=\frac{84}{19}[/tex3]

Finalmente, [tex3]m+n=\frac{84-9}{19}=\frac{75}{19}[/tex3] e aí fica letra E.

Será que está certo?

Grande Fabit,

Gostaria de agradecer as oportunidades em que solucionou as questões que postei. VALEU AMIGO. Nessa questão cometi um erro na digitação no termo do primeiro grau a questão pedia [tex3]+3[/tex3]. Poderia responder nessas condições?
[tex3](6n+m)x^2+3(n-1)x-2=0[/tex3]

Onde tinha 3n-3, troque por 3-3n e tente continuar, fazendo as adapatções necessárias.

Olá, Agp16.

[tex3](2n+m)x^2- 4mx+4=0[/tex3]
[tex3](6n+m)x^2+3(n-1)x-2=0[/tex3]

Condições:

[tex3]\frac{a_1}{a_2}= \frac{b_1}{b_2}= \frac{c_1}{c_2}[/tex3]

[tex3]\frac{2n+m}{6n+m}= \frac{-4m}{3(n-1)}= \frac{4}{-2}[/tex3]

[tex3]\frac{2n+m}{6n+m}= \frac{4}{-2}[/tex3]

[tex3]\frac{2n+m}{6n+m}= -2[/tex3]

[tex3]2n+m= -12n-2m[/tex3]

[tex3]14n= -3m[/tex3]

[tex3]n= - \frac{3m}{14}[/tex3] (1)

[tex3]\frac{-4m}{3(n-1)}= -2[/tex3]

[tex3](- 4m)=-2(3n-3)[/tex3]

[tex3](-4m)= - 6n +6[/tex3]

[tex3]6n -4m = 6[/tex3] (2)

Resolvendo o sistema formado por (1) e (2) encontraremos:

[tex3]m = - \frac{42}{37}[/tex3] e [tex3]n= \frac{9}{37}[/tex3]

Logo, o valor de [tex3]m +n[/tex3] é:

[tex3]\frac{9}{37} - \frac{42}{37}=- \frac{33}{37}[/tex3]

Alternativa: f) [tex3]N.R.A[/tex3]