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Se [tex3]a[/tex3] é um número inteiro positivo qualquer, mostre que a fração [tex3]\frac{a^3+2a}{a^4+3a^2+1}[/tex3] é irredutível.

Primeiramente mostrarei uma fatoração:

[tex3]\frac{a^3+2a}{(a^4+3a^2+2)-1}=\frac{a(a^2+2)}{(a^2+1)\cdot(a^2+2)-1}[/tex3]

Disso podemos já concluir. Para a fração ser redutível ela deve ter algum fator comum no numerador e no denominador. No numerador temos [tex3]a(a^2+2)[/tex3] , então no denominador não podemos ter múltiplos dessas expressões.
Isso é verdade pois temos um múltiplo de [tex3](a^2+2)[/tex3] decrescido de [tex3]1[/tex3] e nenhum termo com [tex3]a[/tex3] pode ser fatorado.

Acho que é isso, não deu para ser muito formal mas está mostrado, abraços.

Obrigada pela resposta triplebig, mas aceitariam essa explicação numa prova dissertativa? Se puderem tragam uma explicação mais formal.

Pelo lema de Euclides:

[tex3]mdc(a^3+2a, a^4+3a^2+1) = mdc(a^3+2a, a^4+3a^2+1-a\cdot(a^3+2a)) = mdc(a^3+2a,a^2+1) [/tex3]

[tex3]mdc(a^3+2a,a^2+1) =mdc(a^3+2a-a\cdot (a^2+1), a^2+1) = mdc(a, a^2+1) = mdc(a, a^2+1-a\cdot (a)) = mdc(a, 1) = \boxed{1}[/tex3]